数学ガール ゲーデルの不完全性定理を読みました。

はじめに

数学ガールシリーズの3「ゲーデルの不完全性定理」を読みました。

この本は難しかったけど、数学についてとてもよく考えさせられる本でした。特に高校数学と大学数学のギャップは大きいと思うのですが、私自身大学数学は何をしたいんだろうと思っていました。その理由がほんの少し分かった気がします。

私はtwitter(@takus69)をしているのですが、今回は「本を読みながらメモを取っていたけど、そのメモをツイートするの面白いかも。」と思い、twitterでその時思ったことをツイートして、その内容をまとめてブログにしてみました。

では数学ガール ゲーデルの不完全性定理を読んで感じたことを書いていきたいと思います。

どうして、数学者は集合を考えるの？

「どうして、数学者は集合を考えるの？」何て考えたことありませんでした。そういうことを考えると大学での数学が分かる気がします。数学で重要なのは計算だけではなく、抽象的に考えること、と言うのは物理などを勉強していて、また前に書いた記事「数学ガール フェルマーの最終定理を読みました。」でも感じました。そういうことを考えさせられました。

音楽では音というコトバ、数学では式というコトバが大切。

なるほどと思いました。プログラムを書く私は、プログラムはコードというコトバが大切だと思いました。

イプシロン・デルタ論法

大学時代に出てくる イプシロン・デルタ論法が出てきました。大学時代になんで必要なんだろうと思ったけど、具体的な問題「一点で連続な関数」を通して、少しその理由がわかりました。

高校では具体的な数値を扱って、大学では抽象的な話ばかり出てきてきます。そのギャップが大学数学の難しさを助長させているのかなと思いました。

数学ガールでは「例示は理解の試金石」という言葉が何度も出てくるけど、具体的な問題があることで、理解が深まると思いました。

カントールの対角線論法

カントールの対角線論法はおもしろいと思いました。ただ数学ガールの問題「実数全体の集合が可算集合でない」ことの証明が理解できていません。何か理解できてない部分があるんだろうなと思います。

ゲーデルの不完全性定理

ゲーデル数を考えて、たくさんの定義にて証明していました。長すぎて途中にあきらめそうになりましたが、最後まで読みました。一つ一つは理解できるのですが、途中で何をやっているかわからなくなる部分もありました。数学者は紙とペンを使いつつ、頭の中でイメージを持って証明しているんだろうなと思いました。

ゲーデルの不完全性定理の証明を読んでいて、プログラムを思い出しました。形式的体系やゲーデル数というのは、機械的に証明する形だと思うので、プログラムでも実装できるのではと思いました。

さいごに

数学ガールを読んでいると「僕」が興奮するところでで一緒に興奮します。それが数学ガールの楽しさだと思います。興奮したのは自然数の「ペア」が整数になる所で、「プラモデルみたいだな」というセリフが共感を覚えました。

数学ガールを読んでいて、線形代数の本を取り出して読んでみました。数学ガールに書いてあることが、ちゃんと書いてありました。昔は気に留めなかった事だったのに、理解が進むと重要なことが分かるようになってきました。

ゲーデルの不完全性定理は、プログラムで実装できそうと思ったので、挑戦してみたいと思っています。実装することで理解が深まると思います。

宿題・課題

• カントールの対角線論法の「実数全体の集合が可算集合でない」ことの証明
• ゲーデルの不完全性定理のプログラムでの実装

数学ガール ゲーデルの不完全性定理を読んでの宿題・課題を時間を見つけてやっていきたいと思います。できたらブログで公開します。

数学ガール/ゲーデルの不完全性定理 (数学ガールシリーズ 3)